# ITP Blatt 01

Besprechung: am 23.04.2026

Die Übungsblätter sidn selbst in "Literate Agda" mit Markdown (`*.lagda.md`)
geschrieben. Wenn Sie diese herunterladen (siehe Link ganz unten), dann können
Sie diese wie andere `*.agda`-Dateien interaktiv bearbeiten. Nach dem letzten
Agda-Schnippsel darin muss deshalb erneut ``` folgen.

```
{-# OPTIONS --allow-unsolved-metas #-}
```

## Einrichten von Agda
* Installieren Sie Agda (Version 2.8.0), vgl. [Setup](Setup.md). Nach erfolgreicher Installation lässt sich `agda` wie folgt aufrufen:
```text
$ agda --version
Agda version 2.8.0
```

* Konfigurieren Sie den Texteditor Ihrer Wahl
    ([Siehe offizielle Agda-Doc](https://agda.readthedocs.io/en/latest/getting-started/installation.html#step-2-configure-a-text-editor))


## Erstellen eines Agda-Projekts

Erstellen Sie im Wurzel-Verzeichnis Ihres persönlichen Agda-Projekts eine Datei
`itp.agda-lib` mit dem Inhalt:
```text
name: itp
depend:
  standard-library-2.3
include:
  src
```

* Der Name des Projekts ist `itp` (frei wählbar)
* Das Projekt verlangt die agda stdlib in Version 2.3
* Die Agda-Dateien unseres Projekts sind in einem Unterordner `src/`

## Test des Agda-Projekts
Erstellen Sie eine Datei `src/Test.agda` mit dem Inhalt:
```agda
id : ∀ (S : Set) → S → S
id S x = x
```
* Lassen Sie den Editor die Datei Typ-prüfen.
* Führen Sie `agda src/Test.agda` manuell aus.

## Even/Odd
```agda

open import Data.Nat using (ℕ; zero ; suc; _+_)
open import Data.Bool using (Bool; true; false; T)
open import Function.Bundles using (_⇔_)

data Even : ℕ → Set where
  0-Even : Even zero
  2+-Even : ∀ k → Even k → Even (suc (suc k))
```
Definieren Sie eine Funktion
```
even? : ℕ → Bool
even? = {!!}
```
Beweisen Sie deren Korrektheit:
```
even?-correct₁ : ∀ k → Even k → T (even? k)
even?-correct₁ = {!!}
even?-correct₂ : ∀ k → T (even? k) → Even k
even?-correct₂ = {!!}
```

## Church-Numerale

Wandeln Sie natürliche Zahlen in Church-Numerale und wieder zurück um:
```
open import Relation.Binary.PropositionalEquality

Numeral : Set₁
Numeral = ∀ {X : Set} → (X → X) → (X → X)

⌈_⌉ : ℕ → Numeral
⌈_⌉ = {!!}

toℕ : Numeral → ℕ
toℕ = {!!}
```

Beweisen Sie, dass die Umwandlung (in die eine Richtung) korrekt ist:
```
toℕ⌈n⌉≡n : ∀ n → toℕ ⌈ n ⌉ ≡ n
toℕ⌈n⌉≡n = {!!}


```